回帰分析の基礎｜線形・ロジスティック・log 変換で『要因の寄与』を分解する

「広告費を 10 万円増やしたら CV は何件増えるのか」「ページの表示速度が 100ms 速くなったら CVR は何ポイント上がるか」「価格を 5% 下げたら解約率はどう動くか」。マーケ・PdM・経営が知りたいのはいつも、施策を 1 単位動かしたとき、結果がいくつ動くか の数字です。回帰分析はこの「1 単位あたりの効き」を、共通要因を取り除いたうえで係数として出してくれます。

相関係数（0.7、0.5 など）だけだと「連動している」しか分かりません。回帰なら、広告費の係数 β1 = 2.3 件 / 万円 のような数字が出るので、そのまま予算の意思決定に持ち込めます。複数の要因が同時に動く局面（広告・CTA・記事制作を並列で回している会社）ほど、回帰の出番が多くなります。

01.まず結論：施策の「1 単位あたりの効き」を数字で出す道具

回帰分析が他のデータ分析と違う最大のポイントは、係数の数字をそのまま意思決定に使える こと。「広告費 1 万円 → CV +2.3 件」「価格 100 円下げ → 解約率 −0.4pt」「記事 1 本 → セッション +180」のような単位付きの係数が出るので、費用対効果の議論にそのまま乗せられます。目的変数の形で次のように使い分けます。

この図と同じデータを、下のツールに読み込んであります。傾き・切片・決定係数（R²）が実際にどう出るか、手元のデータに貼り替えながら確認してみてください。

広告費,売上
10,182
12,210
15,250

02.重回帰｜「どの施策がいくら効いたか」を数字で出す

重回帰は、複数の施策を同時にモデルに入れて、他の施策の影響を取り除いたうえで「その施策単独の効き」 を係数として出してくれます。

たとえば広告費（X1）・CTA 表示数（X2）・新規記事数（X3）を同時に動かしている会社で、重回帰を回した結果が β1 = 2.3、β2 = 0.04、β3 = 8.1 だったとします。読み方は次のとおりです。

• 広告費 1 万円増 → CV +2.3 件（CTA 表示と記事数を一定にしたとき）
• CTA 表示 100 回増 → CV +4 件（広告費と記事数を一定にしたとき）
• 新規記事 1 本増 → CV +8.1 件（広告費と CTA 表示を一定にしたとき）

この係数の数字をそのまま、次のような意思決定に使えます。

• 「広告 +10 万円」vs「記事 +3 本」のどちらが CV 増に効くか比較（前者で +23 件、後者で +24 件、コストとあわせて判断）
• 来期の予算配分のシミュレーション（「広告 +20% で CV はどう動くか」を係数 × 予算増分で試算）
• 施策の費用対効果レポート（「広告は CV 1 件あたり 4,300 円」「記事は CV 1 件あたり 6,200 円」など、係数を CAC に翻訳）

この「1 単位あたりの効き」を 偏回帰係数 と呼びます。式そのものは Y = β0 + β1·X1 + β2·X2 + … ですが、ビジネス目線で重要なのは式ではなく 係数の解釈と、どの数字を意思決定に持ち込むか です。

# statsmodels で重回帰（OLS: 最小二乗法）
import pandas as pd
import statsmodels.api as sm

# df: 広告費 ad_cost, CTA 表示数 cta_views, 新規記事数 new_posts, 目的変数 cv
X = df[["ad_cost", "cta_views", "new_posts"]]
y = df["cv"]

X = sm.add_constant(X)           # 切片 β0 用の列を追加
model = sm.OLS(y, X).fit()
print(model.summary())

# summary 出力で確認するもの
#  - coef      : 各説明変数の偏回帰係数 β
#  - std err   : 標準誤差 SE
#  - t         : t 値（β / SE）
#  - P>|t|     : p 値
#  - [0.025  0.975] : 95% 信頼区間
#  - R-squared / Adj. R-squared : R² と 修正 R²

03.係数の数字が信用できない時のチェック｜多重共線性と VIF

重回帰の係数を意思決定に使う前に、必ず確認するのが 多重共線性。要は 「説明変数同士が似すぎていると、係数の数字が信用できなくなる」 現象です。

たとえば「広告費」と「広告インプレッション数」は連動するため、両方を同時にモデルに入れると、係数の符号が逆転したり、桁が極端にぶれたりします。これに気づかず「広告費の係数がマイナスだから、広告は CV を下げる」のような誤った報告が出る——これが多重共線性の落とし穴です。VIF はその強さを測る指標で、変数ごとに 1 つの数字が出ます。

# VIF を計算（statsmodels）
import pandas as pd
from statsmodels.stats.outliers_influence import variance_inflation_factor
import statsmodels.api as sm

X = df[["ad_cost", "ad_impressions", "cta_views", "new_posts"]]
X = sm.add_constant(X)

vif = pd.DataFrame({
    "feature": X.columns,
    "VIF": [variance_inflation_factor(X.values, i) for i in range(X.shape[1])],
})
print(vif)

# 出力イメージ（const は除いて読む）
#  feature           VIF
#  const             ...
#  ad_cost           12.4   ← 強い共線性
#  ad_impressions    11.8   ← ad_cost と相関 → どちらかを削る or 統合
#  cta_views         1.6
#  new_posts         1.2

04.ロジスティック回帰｜「CV する確率・解約する確率」を出す

ロジスティック回帰は、0/1 の予測 をしたい時に使います。「来月この顧客は解約しそうか」「このリードはフォームを送信しそうか」を 0〜1 の確率 で出してくれるので、優先順位付けに直結します。

係数の読み方は 「exp(β) で倍率」。たとえば「再訪フラグありで β = 0.83」なら、exp(0.83) ≒ 2.30 倍 → 「再訪している顧客は、初訪問の顧客よりオッズで 2.3 倍 CV しやすい」と読みます。重回帰の「1 単位あたり +β」とは違って 「1 単位あたり倍率 exp(β)」 なので、報告時はオッズ比に変換する手間が必要です。オッズ比の詳しい読み方、3カテゴリ以上を扱う多項ロジスティック回帰、閾値設計や不均衡データ対策までは、ロジスティック回帰分析の記事で深掘りしています。

# statsmodels でロジスティック回帰
import pandas as pd
import numpy as np
import statsmodels.api as sm

# df: 説明変数, 目的変数 cv_flag (0 or 1)
X = df[["session_duration", "page_views", "is_returning"]]
y = df["cv_flag"]

X = sm.add_constant(X)
logit = sm.Logit(y, X).fit()
print(logit.summary())

# オッズ比に変換して読みやすくする
odds_ratio = np.exp(logit.params)
print(odds_ratio)
#  const              0.02   ← 切片はそのまま読まない
#  session_duration   1.45   ← 滞在 1 単位増でオッズ 1.45 倍
#  page_views         1.12
#  is_returning       2.30   ← 再訪フラグありでオッズ 2.3 倍

05.log 変換｜売上・滞在時間など『偏ったデータ』を扱う前処理

売上・滞在時間・PV のような「ほとんどは小さい数字、一部だけ桁違いに大きい」データは、そのまま回帰に入れると数件の極端値で係数がぶれます。np.log() を 1 行噛ませると分布がきれいな山型に近づき、係数の推定が安定します。

# log 変換と線形回帰（numpy + scikit-learn）
import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression

# 売上 sales が対数正規分布的。log を取って正規に近づける
y_log = np.log(df["sales"].values)
X = df[["ad_cost", "cta_views", "new_posts"]].values

model = LinearRegression().fit(X, y_log)
print("係数（log スケール）:", model.coef_)
print("切片（log スケール）:", model.intercept_)

# 予測値を元のスケールに戻す
y_pred_log = model.predict(X)
y_pred = np.exp(y_pred_log)

# 注意: log の平均と元の平均は一致しない（Jensen の不等式）
# 期待値で戻すなら exp(y_pred_log + sigma^2 / 2) で補正する手法もある

06.係数を信じる前に｜残差プロットの 3 つの目視

係数の数字を意思決定に使う前に、モデル自体が信用できるかを 30 秒で目視確認します。R² や p 値だけでは見抜けない問題が、残差プロット（観測 − 予測の散布図）で一発で分かります。

# 残差プロットと Q-Q プロット
import statsmodels.api as sm
import matplotlib.pyplot as plt

# model = sm.OLS(y, X).fit() で fit 済みとする
resid = model.resid
fitted = model.fittedvalues

# 残差 vs 予測値
plt.scatter(fitted, resid, alpha=0.5)
plt.axhline(0, color="red", linestyle="--")
plt.xlabel("予測値"); plt.ylabel("残差")

# Q-Q プロット（残差の正規性）
sm.qqplot(resid, line="45", fit=True)

# Durbin-Watson（自己相関）
from statsmodels.stats.stattools import durbin_watson
print("DW:", durbin_watson(resid))
# 2 付近なら自己相関なし、0 or 4 付近なら時系列構造の検討が必要

07.変数が多すぎる時｜Ridge と Lasso で『効いている変数だけ残す』

マーケ施策が 20 種類・データ列が 50 個、というように変数が多すぎると、回帰モデルは「学習データに過剰に合わせる」状態（過学習）に陥ります。学習データでは R² が 0.95 でも、新しい月のデータで予測すると外れる。こうなると意思決定に使えません。

対処は Ridge（係数を全体的に縮める）と Lasso（不要な変数の係数を 0 にして自動選別）。とくに Lasso は、20 個の施策のうち 実際に効いているのはどれか を自動で残してくれるので、ビジネス側にも説明しやすい。

どちらも 正則化の強さ α（lambda とも書く） を持ち、α が大きいほどペナルティが強く、係数は 0 に近づきます。α は交差検証（cross_val_score / GridSearchCV）でテストデータの誤差が最小になる値を選ぶのが定番です。

# Ridge / Lasso と α の交差検証選定
import numpy as np
from sklearn.linear_model import Ridge, Lasso
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.pipeline import Pipeline
from sklearn.model_selection import cross_val_score

X = df[["ad_cost", "cta_views", "new_posts", "session_duration"]].values
y = df["cv"].values

alphas = [0.01, 0.1, 1.0, 10.0, 100.0]
for alpha in alphas:
    pipe_ridge = Pipeline([
        ("scaler", StandardScaler()),
        ("model", Ridge(alpha=alpha)),
    ])
    scores = cross_val_score(pipe_ridge, X, y, cv=5, scoring="r2")
    print(f"Ridge alpha={alpha}: R^2 = {scores.mean():.3f} (+/- {scores.std():.3f})")

# Lasso は係数が 0 になるかも確認
pipe_lasso = Pipeline([
    ("scaler", StandardScaler()),
    ("model", Lasso(alpha=0.5)),
]).fit(X, y)
print("Lasso 係数:", pipe_lasso.named_steps["model"].coef_)
# 例: [ 1.20  0.00  0.85  0.30 ]  ← cta_views が 0 → 変数選択で落ちた

08.よくある質問（FAQ）

09.まとめ

回帰分析の基礎は、説明変数と目的変数の関係を 線形または非線形の式で要約し、係数として要因の寄与を取り出す ことに集約されます。単回帰・重回帰で係数の意味を読み、VIF で多重共線性を確認し、目的変数が 0/1 ならロジスティック回帰、対数正規分布なら log 変換、変数が多すぎるなら Ridge / Lasso、と用途で形を切り替えます。

どの場合でも、残差プロットでモデルの前提が守られているかを目視する習慣を持つと、R² や p 値だけでは見抜けない問題に気付けます。回帰係数を意思決定に持ち込む前に、係数の符号・信頼区間・残差の3点を確認するのが、実務で迷わないための最短ルートです。